În fizică și matematică, măsura Gibbs, denumită după Josiah Willard Gibbs, este o frecvent întâlnită în numeroase probleme din teoria probabilităților, mecanica statistică și . Ea reprezintă o generalizare a la sisteme infinite.

Ansamblul canonic atribuie probabilitatea ca sistemul X să se afle în starea x (echivalent, ca variabila aleatorie X să ia valoarea x) prin

Aici, este o funcție definită pe spațiul stărilor cu valori reale; în aplicații fizice, este interpretată ca energia configurației x. Parametrul este un parametru liber; în fizică, acesta reprezintă . este . Totuși, în sisteme infinite, energia totală nu mai este finită și nu poate fi utilizată în construcția tradițională a distribuției de probabilitate a ansamblului canonic. Abordările clasice din fizica statistică studiază limita proprietăților intensive atunci când dimensiunea sistemului finit tinde la infinit (așa-numita ). Atunci când funcția de energie poate fi scrisă ca sumă de termeni care implică doar variabile din subsisteme finite, noțiunea de măsură Gibbs oferă o alternativă. Măsurile Gibbs au fost introduse de probabiliști precum , și Ruelle, furnizând un cadru pentru studiul direct al sistemelor infinite, fără a mai trece prin limite de sisteme finite.

O măsură este o măsură Gibbs dacă probabilitățile condiționate pe care le induce pe fiecare subsistem finit satisfac o condiție de consistență: dacă toate gradele de libertate din afara subsistemului finit sunt fixate, atunci ansamblul canonic al subsistemului, sub aceste condiții la limită, coincide cu probabilitățile ale măsurii Gibbs.

implică faptul că orice măsură de probabilitate care satisface o este o măsură Gibbs pentru o alegere adecvată a unei funcții de energie definite local. Prin urmare, măsura Gibbs apare în numeroase domenii din afara fizicii, precum rețelele Hopfield, , și jocurile de tip potențiale cu raționalitate limitată din teoria jocurilor și economie.

O măsură Gibbs într-un sistem cu interacțiuni locale (de rază finită) maximizează densitatea de entropie pentru o valoare dată a densității de energie; în mod echivalent, minimizează densitatea energiei libere.

Măsura Gibbs a unui sistem infinit nu este în mod necesar unică, spre deosebire de ansamblul canonic al unui sistem finit, care este unic. Existența mai multor măsuri Gibbs este asociată cu fenomene statistice precum ruperea spontană a simetriei și coexistența fazelor.

Fizica statistică Mulțimea măsurilor Gibbs asociate unui sistem este întotdeauna convexă, astfel încât există fie o singură măsură Gibbs (caz în care sistemul este ), fie infinit de multe (caz în care sistemul este neergodic). În cazul neergodic, măsurile Gibbs pot fi exprimate ca mulțimea ale unui număr mai mic de măsuri Gibbs speciale, numite „stări pure” (a nu se confunda cu noțiunea de stare pură din mecanica cuantică). În aplicațiile fizice, hamiltonianul are de obicei o anumită formă de localitate, iar stările pure satisfac proprietatea de , conform căreia subsistemele îndepărtate sunt independente. În practică, sistemele fizice realiste se află într-una dintre aceste stări pure.

Dacă hamiltonianul posedă o simetrie, atunci o măsură Gibbs unică (adică ergodică) va fi invariantă la acea simetrie. În cazul existenței mai multor măsuri Gibbs (adică neergodice), stările pure nu sunt, în general, invariante la simetria hamiltonianului. De exemplu, în modelul feromagnetic Ising infinit sub temperatura critică, există două stări pure, „majoritar spin în sus” și „majoritar spin în jos”, care sunt transformate una în cealaltă prin simetria a modelului.

Proprietatea Markov Un exemplu al apare în măsura Gibbs a modelului Ising. Probabilitatea ca un spin să se afle în starea s ar putea, în principiu, depinde de stările tuturor celorlalți spini:

.

Totuși, într-un model Ising cu interacțiuni de rază finită (de exemplu, între vecini apropiați), avem

,

unde este vecinătatea nodului . Astfel, probabilitatea depinde doar de spinii dintr-o vecinătate finită. Această relație exprimă o proprietate Markov locală. Măsurile cu această proprietate sunt numite . Mai mult, reciproca este de asemenea adevărată: orice distribuție de probabilitate strict pozitivă care satisface proprietatea Markov poate fi reprezentată ca o măsură Gibbs pentru o funcție de energie adecvată.Ross Kindermann and J. Laurie Snell, Markov Random Fields and Their Applications (1980) American Mathematical Society,

Definiție formală pe rețele Ceea ce urmează este o definiție formală pentru cazul particular al unui câmp aleatoriu definit pe o rețea. Noțiunea de măsură Gibbs este însă mult mai generală.

Rețeaua: o mulțime numărabilă . Spațiul unui spin: un . : , unde și . Pentru o configurație și o submulțime , restricția este . Mulțimea a tuturor submulțimilor finite ale lui . Pentru fiecare , este -algebra generată de funcțiile locale. Potențialul: o familie de funcții locale.

Hamiltonianul local este definit prin

Funcția de partiție și măsura Gibbs sunt definite în mod standard prin ecuațiile DLR, care exprimă consistența probabilităților condiționate pe subsisteme finite.

Exemplu Pentru modelul Ising pe :

Potențialul:

Note

Lectură suplimentară

Le Ny, A (2008). Introduction to (generalized) Gibbs measures, Ensaios Matemáticos, volume 15. Makhmudov, M (2025). Gibbs states in Statistical Mechanics and Dynamical Systems. PhD thesis.

Vezi și

Algoritmul Gibbs Eșantionare Gibbs

Automat celular stohastic

Categorie:Mecanică statistică