У математици, тачније у функционалној анализи, Банахов простор је комплетан нормиран векторски простор. Стога, Банахов простор је векторски простор са метриком која омогућава израчунавање дужине вектора и удаљености између вектора, и комплетан је у смислу да Кошијев низ вектора увек конвергира ка добро дефинисаној граничној вредности која се налази унутар тог простора.

Банахови простори су названи по пољском математичару Стефану Банаху, који је увео овај концепт и систематски га проучавао од 1920. до 1922. године заједно са Хансом Ханом и Едуардом Хелијем. Морис Рене Фреше је први употребио термин „Банахов простор”, а Банах је затим сковао термин „Фрешеов простор”. Банахови простори су првобитно проистекли из проучавања простора функција од стране Хилберта, Фрешеа и Риса раније у том веку. Банахови простори играју централну улогу у функционалној анализи. У другим областима анализе, простори који се проучавају су често Банахови простори.

Дефиниција

Банахов простор је комплетан нормиран простор Нормиран простор је парУобичајено је читати „ је нормиран простор” уместо технички тачнијег, али (обично) педантног „ је нормиран простор”, посебно ако је норма добро позната (на пример, као код простора) или када нема посебне потребе да се бира једна (еквивалентна) норма уместо друге (нарочито у апстрактнијој теорији тополошких векторских простора), у ком случају се често аутоматски претпоставља да се ова норма (ако је потребна) означава са Међутим, у ситуацијама где се нагласак ставља на норму, уобичајено је видети да се пише уместо Технички тачна дефиниција нормираних простора као парова такође може постати важна у контексту теорије категорија, где је разлика између категорија нормираних простора, нормабилних простора, метричких простора, ТВП-ова, тополошких простора итд. обично важна. који се састоји од векторског простора над пољем скалара (где је обично или ) заједно са истакнутомТо значи да ако се норма замени другом нормом на онда није исти нормиран простор као чак ни ако су норме еквивалентне. Међутим, еквиваленција норми на датом векторском простору формира релацију еквиваленције. нормом Као и све норме, ова норма индукује транслационо инваријантнуЗа метрику на векторском простору се каже да је инваријантна на транслацију ако је за све векторе Ово важи ако и само ако је за све векторе Метрика која је индукована нормом је увек инваријантна на транслацију. функцију удаљености, која се назива канонска или (нормом) индукована метрика, дефинисана за све векторе саПошто је за све увек важи да је за све Тако да редослед и у овој дефиницији није битан.

Ово претвара у метрички простор Низ се назива Кошијев у или -Кошијев или -Кошијев ако за сваки реалан број постоји неки индекс такав да, када су и већи од

Нормиран простор се назива Банахов простор, а канонска метрика се назива комплетна метрика ако је комплетан метрички простор, што по дефиницији значи да за сваки Кошијев низ у постоји неки такав да

где се, пошто је конвергенција овог низа ка еквивалентно може изразити као

Норма нормираног простора се назива комплетна норма ако је Банахов простор.

L-полускаларни производ

За сваки нормиран простор постоји L-полускаларни производ на такав да је за све Уопштено, може постојати бесконачно много L-полускаларних производа који задовољавају овај услов, а доказ о постојању L-полускаларних производа ослања се на неконструктивну Хан-Банахову теорему. L-полускаларни производи су генерализација скаларних производа, који су оно што суштински разликује Хилбертове просторе од свих осталих Банахових простора. Ово показује да се сви нормирани простори (а тиме и сви Банахови простори) могу посматрати као генерализације (пред-)Хилбертових простора.

Карактеризација преко редова

Структура векторског простора омогућава повезивање понашања Кошијевих низова са понашањем конвергентних редова вектора. Нормиран простор је Банахов простор ако и само ако сваки апсолутно конвергентан ред у конвергира ка вредности која се налази унутар види Теорему 1.3.9, стр. 20 у . симболички:

Топологија

Канонска метрика нормираног простора индукује уобичајену метричку топологију на која се назива канонска или нормом индукована топологија. Аутоматски се претпоставља да сваки нормиран простор носи ову Хаусдорфову топологију, осим ако није другачије назначено. Са овом топологијом, сваки Банахов простор је Беров простор, иако постоје нормирани простори који су Берови, али нису Банахови. Норма је увек непрекидна функција у односу на топологију коју индукује.

Отворене и затворене кугле полупречника са центром у тачки су, респективно, скупови

Свака таква кугла је конвексан и ограничен подскуп од али компактна кугла/околина постоји ако и само ако је коначнодимензионалан. Посебно, ниједан бесконачнодимензионалан нормиран простор не може бити локално компактан нити имати Хајне-Борелово својство. Ако је вектор и скалар, тада је

Узимајући да је показује се да је топологија индукована нормом инваријантна на транслацију, што значи да за сваки и подскуп је отворен (односно, затворен) у ако и само ако је његова транслација отворена (односно, затворена). Сходно томе, топологија индукована нормом је потпуно одређена било којом базом околина у координатном почетку. Неке уобичајене базе околина у почетку укључују

где може бити било који низ позитивних реалних бројева који конвергира ка у (чести избори су или ). Тако се, на пример, сваки отворени подскуп од може написати као унија

индексирана неким подскупом где сваки може бити изабран из претходно поменутог низа (Отворене кугле могу бити замењене и затвореним куглама, мада индексирајући скуп и полупречници тада можда морају да се промене). Додатно, се увек може изабрати тако да буде пребројив ако је сепарабилан, што по дефиницији значи да садржи неки пребројив густ подскуп.

Класе хомеоморфизама сепарабилних Банахових простора

Сви коначнодимензионални нормирани простори су сепарабилни Банахови простори и свака два Банахова простора исте коначне димензије су линеарно хомеоморфна. Сваки сепарабилан бесконачнодимензионални Хилбертов простор је линеарно изометријски изоморфан сепарабилном простору низова са његовом уобичајеном нормом

Андерсон-Кадецова теорема тврди да је сваки бесконачнодимензионални сепарабилни Фрешеов простор хомеоморфан простору производа пребројиво много копија простора (овај хомеоморфизам не мора бити линеарно пресликавање). Тако су сви бесконачнодимензионални сепарабилни Фрешеови простори хомеоморфни један другом (или другачије речено, њихова топологија је јединствена до на хомеоморфизам). Пошто је сваки Банахов простор уједно и Фрешеов простор, ово важи и за све бесконачнодимензионалне сепарабилне Банахове просторе, укључујући У ствари, је чак хомеоморфан својој сопственој јединичној сфери што представља оштру супротност коначнодимензионалним просторима (Еуклидска раван није хомеоморфна јединичном кругу, на пример).

Овај образац у класама хомеоморфизама проширује се на уопштења метризабилних (локално еуклидских) тополошких многострукости познатих као метричке Банахове многострукости, што су метрички простори који су око сваке тачке локално хомеоморфни неком отвореном подскупу датог Банаховог простора (метричке Хилбертове многострукости и метричке Фрешеове многострукости дефинишу се слично). На пример, сваки отворени подскуп Банаховог простора је канонски метричка Банахова многострукост моделована на јер је пресликавање инклузије отворен локални хомеоморфизам. Користећи микросвежњеве Хилбертовог простора, Дејвид Хендерсон је показао 1969. године да свака метричка многострукост моделована на сепарабилном бесконачнодимензионалном Банаховом (или Фрешеовом) простору може бити тополошки уклопљена као отворен подскуп простора и, сходно томе, такође допушта јединствену глатку структуру чинећи је Хилбертовом многострукошћу.

Компактни и конвексни подскупови

Постоји компактан подскуп од чији конвексни омотач није затворен, па самим тим није ни компактан.Нека је сепарабилни Хилбертов простор квадратно-сумабилних низова са уобичајеном нормом и нека је стандардна ортонормирана база (то јест, сваки има нуле на свим позицијама осим јединице на -тој позицији). Затворен скуп је компактан (јер је секвенцијално компактан), али његов конвексни омотач није затворен скуп јер тачка припада затворењу од у али (пошто је свака тачка коначна конвексна комбинација елемената из па је за све координате осим за коначно много њих, што није случај са ). Међутим, као и у свим комплетним Хаусдорфовим локално конвексним просторима, затворени конвексни омотач овог компактног подскупа је компактан. Векторски потпростор је пред-Хилбертов простор када је опремљен подструктуром коју Хилбертов простор индукује на њему, али није комплетан и (јер ). Затворени конвексни омотач од у (овде „затворени” значи у односу на а не на као раније) једнак је што није компактно (јер није комплетан подскуп). Ово показује да у Хаусдорфовом локално конвексном простору који није комплетан, затворени конвексни омотач компактног подскупа можда неће бити компактан (иако ће бити преткомпактан/тотално ограничен). Међутим, као и у свим Банаховим просторима, затворени конвексни омотач овог (и сваког другог) компактног подскупа биће компактан. У нормираном простору који није комплетан, генерално није загарантовано да ће бити компактан кад год је компактан; пример се чак може наћи у (некомплетном) пред-Хилбертовом векторском потпростору простора

Као тополошки векторски простор

Ова топологија индукована нормом такође претвара у оно што је познато као тополошки векторски простор (ТВП), који је по дефиницији векторски простор опремљен топологијом која операције сабирања и множења скаларом чини непрекидним. Наглашава се да је ТВП само векторски простор заједно са одређеним типом топологије; то јест, када се посматра као ТВП, он није повезан ни са којом посебном нормом или метриком (обе су „заборављене”). Овај Хаусдорфов ТВП је чак локално конвексан јер скуп свих отворених кугли центрираних у координатном почетку формира базу околина у почетку која се састоји од конвексних балансираних отворених скупова. Овај ТВП је такође нормабилан, што се по дефиницији односи на сваки ТВП чија је топологија индукована неком (можда непознатом) нормом. Нормабилни ТВП-ови карактеришу се тиме што су Хаусдорфови и имају ограничену конвексну околину координатног почетка. Сви Банахови простори су бачвасти простори, што значи да је свака бачва околина почетка (све затворене кугле центриране у почетку су бачве, на пример) и гарантује да важи Банах-Штајнхаусова теорема.

Поређење комплетних метризабилних векторских топологија

Теорема о отвореном пресликавању имплицира да када су и топологије на које чине и и комплетним метризабилним ТВП-овима (на пример, Банахови или Фрешеови простори), ако је једна топологија финија или грубља од друге, онда оне морају бити једнаке (тј. ако је или онда је ). На пример, ако су и Банахови простори са топологијама и и ако једна од ових простора има неку отворену куглу која је такође отворен подскуп другог простора (или, еквивалентно, ако је једно од пресликавања или непрекидно), тада су њихове топологије идентичне, а норме и су еквивалентне.

Комплетност

Комплетне норме и еквивалентне норме

За две норме, и на векторском простору каже се да су еквивалентне ако индукују исту топологију; ово важи ако и само ако постоје реални бројеви такви да је за све Ако су и две еквивалентне норме на векторском простору тада је Банахов простор ако и само ако је Банахов простор.