У функционалној анализи и сродним областима математике, комплетан тополошки векторски простор је тополошки векторски простор (ТВП) са особином да кад год тачке постају прогресивно ближе једна другој, тада постоји нека тачка којој се све оне заједно приближавају. Појам „тачака које постају прогресивно ближе” је строго дефинисан помоћу Кошијевих мрежа или Кошијевих филтера, који су генерализације Кошијевих низова, док „тачка којој се све оне приближавају” значи да ова Кошијева мрежа или филтер конвергира ка Појам употпуњености за ТВП-ове користи теорију униформних простора као оквир за генерализацију појма употпуњености за метричке просторе. Али, за разлику од метричке употпуњености, ТВП-употпуњеност не зависи ни од какве метрике и дефинисана је за све ТВП-ове, укључујући и оне који нису метризабилни или Хаусдорфови.
Употпуњеност је изузетно важна особина коју тополошки векторски простор може да поседује. Појмови употпуњености за нормиране просторе и метризабилне ТВП-ове, који су обично дефинисани у смислу употпуњености одређене норме или метрике, могу се оба свести на овај појам ТВП-употпуњености – појам који је независан од било које одређене норме или метрике. Метризабилан тополошки векторски простор са транслаторно инваријантном метрикомМетрика на векторском простору се назива транслаторно инваријантном ако је за све векторе Метрика индукована нормом је увек транслаторно инваријантна. је комплетан као ТВП ако и само ако је комплетан метрички простор, што по дефиницији значи да сваки -Кошијев низ конвергира ка некој тачки у Истакнути примери комплетних ТВП-ова који су такође метризабилни укључују све Ф-просторе, а самим тим и све Фрешеове просторе, Банахове просторе и Хилбертове просторе. Истакнути примери комплетних ТВП-ова који (обично) нису метризабилни укључују строге ЛФ-просторе као што је простор тест функција са његовом канонском ЛФ-топологијом, јаки дуални простор било ког Фрешеовог простора који није нормиран, као и многе друге поларне топологије на непрекидном дуалном простору или друге топологије на просторима линеарних пресликавања.
Експлицитно, тополошки векторски простор (ТВП) је комплетан ако свака мрежа, или еквивалентно, сваки филтер, који је Кошијев у односу на канонску униформност простора обавезно конвергира ка некој тачки. Другачије речено, ТВП је комплетан ако је његова канонска униформност комплетна униформност. Канонска униформност на ТВП-у је јединственаУпотпуњеност нормираних простора и метризабилних ТВП-ова дефинисана је преко норми и метрика. Уопштено, много различитих норми (на пример, еквивалентне норме) и метрика се може користити за одређивање употпуњености таквог простора. Ово је у супротности са јединственошћу транслаторно инваријантне канонске униформности. транслаторно инваријантна униформност која на индукује топологију Овај појам „ТВП-употпуњености” зависи само од векторског одузимања и топологије ТВП-а; последично, може се применити на све ТВП-ове, укључујући и оне чије топологије не могу бити дефинисане помоћу метрика или псеудометрика. Првопребројив ТВП је комплетан ако и само ако сваки Кошијев низ (или еквивалентно, сваки елементарни Кошијев филтер) конвергира ка некој тачки.
Сваки тополошки векторски простор чак и ако није метризабилан или није Хаусдорфов, има употпуњење, које је по дефиницији комплетан ТВП у који се може ТВП-утопити као густ векторски потпростор. Штавише, сваки Хаусдорфов ТВП има Хаусдорфово употпуњење, које је нужно јединствено до на ТВП-изоморфизам. Међутим, као што је испод објашњено, сви ТВП-ови имају бесконачно много не-Хаусдорфових употпуњења која нису ТВП-изоморфна једна другом.
Дефиниције
Овај одељак резимира дефиницију комплетног тополошког векторског простора (ТВП) у смислу мрежа и предфилтера. Информације о конвергенцији мрежа и филтера, као што су дефиниције и особине, могу се пронаћи у чланку о филтерима у топологији.
Сваки тополошки векторски простор (ТВП) је комутативна тополошка група са идентитетом у односу на сабирање, а канонска униформност ТВП-а је дефинисана у потпуности у смислу одузимања (и тиме сабирања); множење скаларом није укључено и није потребна додатна структура.
Канонска униформност
простора је скуп
а за свако / је скуп
где ако онда садржи дијагоналу
Ако је симетричан скуп (односно, ако је ), тада је , што по дефиницији значи да важи , где је и додатно, композиција овог симетричног скупа са самим собом је:
Ако је било која база околина у координатном почетку у тада је фамилија подскупова из
предфилтер на Ако је филтер околина у координатном почетку у тада чини базу околина за униформну структуру на која се сматра канонском. Експлицитно, по дефиницији, на индукована са је филтер на генерисан горњим предфилтером:
где означава затворење нагоре од у Иста канонска униформност би се добила коришћењем базе околина у координатном почетку, а не филтера свих околина у координатном почетку. Ако је било која база околина у координатном почетку у тада је филтер на генерисан предфилтером једнак канонској униформности индукованој са
Кошијева мрежа
Општа теорија униформних простора има сопствену дефиницију „Кошијевог предфилтера” и „Кошијеве мреже”. За канонску униформност на ове дефиниције се своде на оне дате у наставку.
Нека је мрежа у и мрежа у Производ постаје усмерен скуп дефинисањем ако и само ако је и Тада
означава (Декартову) , где је посебно Ако је онда слика ове мреже при пресликавању векторског сабирања представља ове две мреже:
а слично је и њихова дефинисана као слика производне мреже при пресликавању векторског одузимања :
Посебно, ознака означава мрежу индексирану са а не мрежу индексирану са јер би коришћење ове друге као дефиниције учинило ознаку бескорисном.
Мрежа у ТВП-у назива се Кошијевом мрежом ако
Експлицитно, ово значи да за сваку околину нуле у постоји неки индекс такав да је за све индексе који задовољавају и Довољно је проверити било који од ових дефинишућих услова за било коју дату базу околина нуле у Кошијев низ је низ који је уједно и Кошијева мрежа.
Ако тада у па непрекидност пресликавања векторског одузимања које је дефинисано са гарантује да у где је и Ово доказује да је свака конвергентна мрежа уједно и Кошијева мрежа. По дефиницији, простор се назива комплетан ако је и обрнуто увек тачно. То јест, је комплетан ако и само ако важи следеће: кад год је мрежа у тада конвергира (ка некој тачки) у ако и само ако у Слична карактеризација употпуњености важи ако се користе филтери и предфилтери уместо мрежа.
Ред назива се (односно, ) ако је низ парцијалних сума Кошијев низ (односно, конвергентан низ). Сваки конвергентан ред је нужно Кошијев ред. У комплетном ТВП-у, сваки Кошијев ред је нужно конвергентан ред.
Кошијев филтер и Кошијев предфилтер
Предфилтер на тополошком векторском простору назива се Кошијев предфилтер ако задовољава било који од следећих еквивалентних услова: у Фамилија је предфилтер. Експлицитно, значи да за сваку околину координатног почетка у постоје такви да је у Фамилија је предфилтер еквивалентан са (еквиваленција значи да ови предфилтери генеришу исти филтер на ). Експлицитно, значи да за сваку околину координатног почетка у постоји неко такво да је За сваку околину координатног почетка у садржи неки -мали скуп (то јест, постоји неко такво да је ). Подскуп се назива -мали или ако је За сваку околину координатног почетка у постоји неко и неко тако да је Ова тврдња остаје тачна ако се "" замени са "" Свака околина координатног почетка у садржи неки подскуп облика где је и Довољно је проверити било који од горњих услова за било коју дату базу околина нуле у Кошијев филтер је Кошијев предфилтер који је уједно и филтер на
Ако је предфилтер на тополошком векторском простору и ако је тада у ако и само ако и је Кошијев.
Комплетан подскуп
За било које предфилтер је нужно подскуп од ; то јест,
Подскуп ТВП-а се назива ако задовољава било који од следећих еквивалентних услова: Сваки Кошијев предфилтер на конвергира ка барем једној тачки из Ако је Хаусдорфов онда ће сваки предфилтер на конвергирати ка највише једној тачки из Али ако није Хаусдорфов онда предфилтер може конвергирати ка више тачака у Исто важи и за мреже. Свака Кошијева мрежа у конвергира ка барем једној тачки из је комплетан униформни простор (према општој тополошкој дефиницији „комплетног униформног простора”) када се опреми униформношћу коју на њему индукује канонска униформност од
Подскуп се назива ако сваки Кошијев низ у (или еквивалентно, сваки елементарни Кошијев филтер/предфилтер на ) конвергира ка барем једној тачки из
Важно је напоменути да конвергенција ка тачкама изван не спречава скуп да буде комплетан: Ако није Хаусдорфов и ако сваки Кошијев предфилтер на конвергира ка некој тачки из тада ће бити комплетан чак и ако неки или сви Кошијеви предфилтери на такође конвергирају ка тачки (или тачкама) у Укратко, не постоји захтев да ови Кошијеви предфилтери на конвергирају само ка тачкама у Исто се може рећи и за конвергенцију Кошијевих мрежа у
Као последица тога, ако ТВП није Хаусдорфов онда је сваки подскуп затворења од у комплетан јер је компактан, а сваки компактан скуп је нужно комплетан. Посебно, ако је прави подскуп, као на пример тада би био комплетан иако свака Кошијева мрежа у (и такође сваки Кошијев предфилтер на ) конвергира ка свакој тачки у укључујући и оне тачке у које не припадају Овај пример такође показује да комплетни подскупови (и заиста, чак и компактни подскупови) не-Хаусдорфовог ТВП-а могу да не буду затворени. На пример, ако је онда је ако и само ако је затворен у
Комплетан тополошки векторски простор
Тополошки векторски простор се назива ако је задовољен било који од следећих еквивалентних услова:
је комплетан униформни простор када је опремљен својом канонском униформношћу. У општој теорији униформних простора, униформни простор се назива комплетан униформни простор ако сваки Кошијев филтер на конвергира ка некој тачки из у топологији индукованој униформношћу. Када је ТВП, топологија индукована канонском униформношћу је једнака задатој топологији од (тако да је конвергенција у овој индукованој топологији заправо уобичајена конвергенција у ). је комплетан подскуп самог себе. Постоји околина координатног почетка у која је такође комплетан подскуп од Ово имплицира да је сваки локално компактан ТВП комплетан (чак и ако ТВП није Хаусдорфов). Сваки Кошијев предфилтер на конвергира у ка барем једној тачки из Ако је Хаусдорфов онда ће сваки предфилтер на конвергирати ка највише једној тачки из Али ако није Хаусдорфов онда предфилтер може конвергирати ка више тачака у Исто важи и за мреже. Сваки Кошијев филтер на конвергира у ка барем једној тачки из Свака Кошијева мрежа у конвергира у ка барем једној тачки из
где ако је додатно псеудометризабилан или метризабилан (на пример, нормиран простор) тада се ова листа може проширити да укључи:
је секвенцијално комплетан.
Тополошки векторски простор је ако је задовољен било који од следећих еквивалентних услова: је секвенцијално комплетан подскуп самог себе. Сваки Кошијев низ у конвергира у ка барем једној тачки из Сваки елементарни Кошијев предфилтер на конвергира у ка барем једној тачки из Сваки елементарни Кошијев филтер на конвергира у ка барем једној тачки из
Јединственост канонске униформности
Постојање канонске униформности је демонстрирано горе њеним дефинисањем. Теорема испод утврђује да је канонска униформност било ког ТВП-а једина униформност на која је истовремено (1) транслаторно инваријантна, и (2) генерише на топологију
Овај одељак је посвећен објашњењу прецизног значења термина укључених у ову тврдњу о јединствености.
Униформни простори и транслаторно инваријантне униформности
За било које подскупове нека је
и нека је
Непразна фамилија назива се или ако је предфилтер на који задовољава све следеће услове: Сваки скуп у садржи дијагоналу од као подскуп; то јест, за свако Другачије речено, предфилтер је фиксиран на За свако постоји неко такво да је